1、"P01: 01背包问题题目有N件物品和1个容量为V的背包。
2、第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。
3、求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
【资料图】
4、基本思路这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选取放或不放。
5、用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入1个容量为v的背包可以获得的最大价值。
6、则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要,基本上全部跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
7、因此有必要将它清楚解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为1个只牵扯前i-1件物品的问题。
8、假如不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];假如放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
9、优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
10、先考虑上边讲的基本思路怎么实现,肯定是有1个主循环i=1..N,每回算出来二维数组f[i][0..V]的全部值。
11、那么,假如只用1个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]2个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每回主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才可以保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
12、伪代码如下:for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},由于目前的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。
13、假如将v的循环顺序从上边的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另1个重要的背包问题P02最简捷的处理方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
14、事实上,用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,因此这里抽象出1个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调出使用不加说明。
15、过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,2个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
16、procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不一样。
17、前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每一个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。
18、而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。
19、费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
20、有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:for i=1..N ZeroOnePack(c[i],w[i]);初始化的细节问题我们看见的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。
21、有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并木有要求必须把背包装满。
22、一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不一样。
23、假如是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
24、假如并木有要求必须把背包装满,而是只期望价钱尽量大,初始化时应当将f[0..V]全部设为0。
25、为啥呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在木有任何物品可以放入背包时的合法状态。
26、假如要求背包恰好装满,那么此时仅有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均木有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应当是-∞了。
27、假如背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有1个合法解“啥都不装”,这个解的价值为0,因此初始时状态的值也就全部为0了。
28、这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
29、小结01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。
30、故一定要仔细体会上边基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。
31、"。
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1、 "P01:01背包问题题目有N件物品和1个容量为V的背包。2、第i件物品的
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