1、舒尔（Schur）不等式　　说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z>=0　　则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0　　当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。

2、当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

【资料图】

3、　　舒尔(schur)不等式的证明：　　不妨设x>=y>=z　　∑x(x-y)(x-z)　　=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)　　>=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)　　>=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)　　=(x-y)^2(y-z)　　>=0 　　t不是1时同理可证　　事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。

4、　　Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。

5、赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto H?lder)。

6、这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式：设S为测度空间，，及，设f在Lp(S)内，g在Lq(S)内。

7、则f g在L1(S)内，且有。

8、 若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1, ..., xn; y1, ..., yn，有。

9、 我们称p和q互为赫尔德共轭。

10、若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

11、当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

12、赫尔德不等式可以证明Lp空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明Lp空间是Lq空间的对偶。

13、[编辑] 备注 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

14、 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式： 以及 如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

15、 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。

16、把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

17、 [编辑] 证明 赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

18、如果||f ||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

19、如果||g||q = 0也是这样。

20、因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

21、如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。

22、因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

23、如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

24、对于p = 1和q = ∞，情况也类似。

25、因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

26、分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当ap = bq时等式成立。

27、因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。

28、在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。

29、更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。

30、||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

31、****************************希望对你有用。

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