函数的凹凸性和拐点例题及解析_函数的凹凸性_环球快消息
发布时间:2023-04-16 20:00:48 文章来源:互联网

1、就是二阶导的问题,图形是(向上)凹的,或图形是(向上)凸的设函数f(x)在区间I上定义,若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有[1]f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立,即"<"号成立,则称f(x)在I上是严格凹函数。

2、如果"<="换成">="就是凸函数。


(资料图)

3、类似也有严格凸函数。

4、[1]设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点a、b恒有f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有f((a+b)/2)>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是(向上)凸的(或凸弧)这个定义从几何上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。

5、[1]直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。

6、比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f"(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f"(x)<=0;[1-2]不过补充一下,中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。

7、ConvexFunction在国内的数学书中指凹函数。

8、ConcaveFunction指凸函数。

9、在国内涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和国外的提法是一致的,也就是和单纯的数学教材是反的。

10、很头大的问题。

11、[1]另外,国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。

12、一般来说,可按如下方法准确说明:f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),即V型,为“凸向原点”,或“下凸”(也可说上凹),(有的简称凸有的简称凹)2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2),即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)凸/凹向原点这种说法一目了然。

13、上下凸的说法也没有歧义[2]在二维环境下,就是通常所说的平面直角坐标系中,可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹,当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。

14、但是,在多维情况下,图形是画不出来的,这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了,只能通过表达式,当然n维的表达式比二维的肯定要复杂,但是,不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解,都是描述的同一个客观事实。

15、而且,按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。

16、琴生(Jensen)不等式(也称为詹森不等式):(注意前提、等号成立条件)设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式。

17、加权形式为:f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.。

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